Contoh Soal dan Pembahasan Matematika Kelas 3 SMK

I. Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang mendasar dan penting. Di kelas 3 SMK, pemahaman aljabar akan semakin diperdalam dengan berbagai konsep dan aplikasinya.

A. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi satu. Bentuk umumnya adalah ax + b = 0, dengan a dan b adalah konstanta dan a ≠ 0. Pertidaksamaan linear satu variabel memiliki bentuk yang mirip, tetapi menggunakan tanda ketidaksamaan seperti <, >, ≤, atau ≥.

• Contoh Soal 1:

  Selesaikan persamaan linear berikut: 3x + 5 = 14

  Pembahasan:

  1. Kurangi kedua sisi persamaan dengan 5:

     3x + 5 – 5 = 14 – 5

     3x = 9

  2. Bagi kedua sisi persamaan dengan 3:

     3x/3 = 9/3

     x = 3

  Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah x = 3.

• Contoh Soal 2:

  Selesaikan pertidaksamaan linear berikut: 2x – 1 < 7

  Pembahasan:

  1. Tambahkan 1 ke kedua sisi pertidaksamaan:

     2x – 1 + 1 < 7 + 1

     2x < 8

  2. Bagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 2:

     2x/2 < 8/2

     x < 4

  Jadi, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah x < 4. Ini berarti semua nilai x yang kurang dari 4 memenuhi pertidaksamaan tersebut.

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV adalah sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel. Bentuk umumnya adalah:

• ax + by = c

• dx + ey = f

  dengan a, b, c, d, e, dan f adalah konstanta.

• Metode Penyelesaian SPLDV:

  1. Metode Substitusi: Menyelesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel, kemudian mensubstitusikan ekspresi tersebut ke persamaan lainnya.

  2. Metode Eliminasi: Mengalikan kedua persamaan dengan konstanta sedemikian rupa sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama (atau berlawanan). Kemudian, menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut.

  3. Metode Grafik: Menggambar grafik kedua persamaan pada bidang koordinat. Titik potong kedua garis merupakan solusi dari SPLDV.

• Contoh Soal 3:

  Selesaikan SPLDV berikut menggunakan metode substitusi:

  • x + y = 5
  • 2x – y = 1

  Pembahasan:

  1. Dari persamaan pertama, kita dapatkan y = 5 – x.

  2. Substitusikan y = 5 – x ke persamaan kedua:

     2x – (5 – x) = 1

     2x – 5 + x = 1

     3x = 6

     x = 2

  3. Substitusikan x = 2 ke persamaan y = 5 – x:

     y = 5 – 2

     y = 3

  Jadi, solusi dari SPLDV tersebut adalah x = 2 dan y = 3.

• Contoh Soal 4:

  Selesaikan SPLDV berikut menggunakan metode eliminasi:

  • 3x + 2y = 7
  • x – 2y = -3

  Pembahasan:

  1. Perhatikan bahwa koefisien y pada kedua persamaan sudah berlawanan (+2 dan -2).

  2. Jumlahkan kedua persamaan:

     (3x + 2y) + (x – 2y) = 7 + (-3)

     4x = 4

     x = 1

  3. Substitusikan x = 1 ke salah satu persamaan, misalnya persamaan pertama:

     3(1) + 2y = 7

     3 + 2y = 7

     2y = 4

     y = 2

  Jadi, solusi dari SPLDV tersebut adalah x = 1 dan y = 2.

C. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan derajat tertinggi 2. Bentuk umumnya adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

• Unsur-Unsur Penting Fungsi Kuadrat:

  1. Akar-akar (Zeros/Roots): Nilai x yang membuat f(x) = 0. Akar-akar ini merupakan titik potong grafik dengan sumbu-x.

  2. Sumbu Simetri: Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah x = -b / 2a.

  3. Titik Puncak (Vertex): Titik tertinggi (jika a < 0) atau titik terendah (jika a > 0) pada parabola. Koordinat titik puncak adalah (-b / 2a, f(-b / 2a)).

  4. Nilai Maksimum/Minimum: Nilai f(x) pada titik puncak.

• Contoh Soal 5:

  Tentukan akar-akar, sumbu simetri, dan titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = x² – 4x + 3.

  Pembahasan:

  1. Akar-akar:

     Untuk mencari akar-akar, kita selesaikan persamaan x² – 4x + 3 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 1)(x – 3) = 0. Jadi, akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 3.

  2. Sumbu Simetri:

     Sumbu simetri adalah x = -b / 2a = -(-4) / (2 1) = 2*.

  3. Titik Puncak:

     x dari titik puncak adalah sumbu simetri, yaitu x = 2. Nilai y dari titik puncak adalah f(2) = (2)² – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. Jadi, titik puncaknya adalah (2, -1).

II. Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga. Di kelas 3 SMK, trigonometri diaplikasikan dalam berbagai konteks, termasuk pengukuran dan navigasi.

A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Pada segitiga siku-siku, terdapat tiga perbandingan trigonometri dasar:

• Sinus (sin): Perbandingan sisi depan (opposite) terhadap sisi miring (hypotenuse). sin θ = depan / miring

• Cosinus (cos): Perbandingan sisi samping (adjacent) terhadap sisi miring. cos θ = samping / miring

• Tangen (tan): Perbandingan sisi depan terhadap sisi samping. tan θ = depan / samping

• Contoh Soal 6:

  Sebuah tangga bersandar pada dinding dengan membentuk sudut 60° terhadap tanah. Jika panjang tangga adalah 5 meter, tentukan tinggi dinding yang dicapai oleh tangga.

  Pembahasan:

  1. Kita dapat memodelkan situasi ini sebagai segitiga siku-siku, dengan tangga sebagai sisi miring, tinggi dinding sebagai sisi depan, dan jarak kaki tangga ke dinding sebagai sisi samping.

  2. Kita ingin mencari tinggi dinding (sisi depan), dan kita tahu panjang tangga (sisi miring) dan sudut yang dibentuk. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan perbandingan sinus:

     sin 60° = depan / miring

     sin 60° = tinggi / 5

  3. Kita tahu bahwa sin 60° = √3 / 2. Substitusikan nilai ini ke persamaan:

     √3 / 2 = tinggi / 5

     tinggi = 5 (√3 / 2) = (5√3) / 2* meter

  Jadi, tinggi dinding yang dicapai oleh tangga adalah (5√3) / 2 meter.

B. Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan Sinus dan Cosinus digunakan untuk menyelesaikan segitiga sembarang (bukan segitiga siku-siku).

• Aturan Sinus: a / sin A = b / sin B = c / sin C, dengan a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga, dan A, B, C adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut.

• Aturan Cosinus:

  • a² = b² + c² – 2bc cos A
  • b² = a² + c² – 2ac cos B
  • c² = a² + b² – 2ab cos C

• Contoh Soal 7:

  Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui a = 8 cm, b = 5 cm, dan ∠C = 60°. Tentukan panjang sisi c.

  Pembahasan:

  1. Kita dapat menggunakan aturan cosinus untuk mencari panjang sisi c:

     c² = a² + b² – 2ab cos C

     c² = 8² + 5² – 2(8)(5) cos 60°

  2. Kita tahu bahwa cos 60° = 1/2. Substitusikan nilai ini ke persamaan:

     c² = 64 + 25 – 80 (1/2)

     c² = 89 – 40

     c² = 49

  3. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:

     c = √49 = 7 cm

  Jadi, panjang sisi c adalah 7 cm.

III. Statistika

Statistika adalah cabang matematika yang mempelajari pengumpulan, analisis, interpretasi, dan presentasi data.

A. Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data digunakan untuk menggambarkan nilai tipikal atau pusat dari suatu kumpulan data. Beberapa ukuran pemusatan yang umum digunakan adalah:

• Rata-rata (Mean): Jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data.

• Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan.

• Modus: Nilai yang paling sering muncul dalam data.

• Contoh Soal 8:

  Tentukan rata-rata, median, dan modus dari data berikut: 5, 7, 8, 5, 6, 9, 5, 8, 7.

  Pembahasan:

  1. Rata-rata:

     (5 + 7 + 8 + 5 + 6 + 9 + 5 + 8 + 7) / 9 = 60 / 9 = 6.67 (dibulatkan)

  2. Median:

     Urutkan data: 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

     Median adalah nilai tengah, yaitu 7.

  3. Modus:

     Nilai yang paling sering muncul adalah 5 (muncul 3 kali).

  Jadi, rata-ratanya adalah 6.67, mediannya adalah 7, dan modusnya adalah 5.

B. Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data digunakan untuk menggambarkan seberapa jauh data tersebar dari pusatnya. Beberapa ukuran penyebaran yang umum digunakan adalah:

• Rentang (Range): Selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam data.

• Simpangan Baku (Standard Deviation): Ukuran seberapa jauh data menyebar dari rata-rata.

• Varians (Variance): Kuadrat dari simpangan baku.

• Contoh Soal 9:

  Tentukan rentang, simpangan baku, dan varians dari data berikut: 4, 6, 8, 10, 12.

  Pembahasan:

  1. Rentang:

     Nilai terbesar adalah 12, dan nilai terkecil adalah 4. Rentang = 12 – 4 = 8.

  2. Simpangan Baku dan Varians:

     a. Hitung rata-rata: (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8

     b. Hitung simpangan setiap data dari rata-rata, kuadratkan, lalu jumlahkan:

     (4-8)² + (6-8)² + (8-8)² + (10-8)² + (12-8)² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

     c. Hitung varians: 40 / (5-1) = 40 / 4 = 10

     d. Hitung simpangan baku: √10 = 3.16 (dibulatkan)

  Jadi, rentangnya adalah 8, variansnya adalah 10, dan simpangan bakunya adalah 3.16.