Aplikasi Turunan: Contoh Soal Kelas 2 IPA

I. Pendahuluan

Turunan merupakan salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk fisika, ekonomi, teknik, dan matematika itu sendiri. Di kelas 2 IPA SMA, pemahaman tentang turunan dan aplikasinya menjadi sangat penting sebagai dasar untuk mempelajari materi yang lebih kompleks di tingkat selanjutnya. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal aplikasi turunan yang umum ditemui di kelas 2 IPA, beserta pembahasan yang detail dan mudah dipahami. Tujuannya adalah untuk membantu siswa memperdalam pemahaman konsep turunan dan meningkatkan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan.

II. Gradien Garis Singgung

Aplikasi turunan yang paling mendasar adalah menentukan gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu. Gradien garis singgung di titik (x₁, y₁) pada kurva y = f(x) adalah f'(x₁), di mana f'(x) adalah turunan pertama dari f(x).

• Contoh Soal 1:

  Tentukan gradien garis singgung kurva y = x² – 4x + 5 di titik (3, 2).

  • Pembahasan:

    1. Cari turunan pertama:
       f(x) = x² – 4x + 5
       f'(x) = 2x – 4

    2. Substitusikan nilai x:
       f'(3) = 2(3) – 4 = 6 – 4 = 2

    Jadi, gradien garis singgung kurva di titik (3, 2) adalah 2.

• Contoh Soal 2:

  Garis singgung kurva y = x³ – 3x² + 2 di titik (a, b) sejajar dengan garis y = 9x – 2. Tentukan nilai a dan b.

  • Pembahasan:

    1. Gradien garis y = 9x – 2 adalah 9. Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga 9.

    2. Cari turunan pertama:
       f(x) = x³ – 3x² + 2
       f'(x) = 3x² – 6x

    3. Samakan turunan dengan gradien garis:
       3x² – 6x = 9
       3x² – 6x – 9 = 0
       x² – 2x – 3 = 0
       (x – 3)(x + 1) = 0
       x = 3 atau x = -1

    4. Cari nilai y (b) untuk setiap nilai x (a):

       • Untuk x = 3:
         y = (3)³ – 3(3)² + 2 = 27 – 27 + 2 = 2
         Jadi, titiknya adalah (3, 2).

       • Untuk x = -1:
         y = (-1)³ – 3(-1)² + 2 = -1 – 3 + 2 = -2
         Jadi, titiknya adalah (-1, -2).

    Jadi, nilai a dan b adalah (3, 2) atau (-1, -2).

III. Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal

Setelah mengetahui gradien garis singgung, kita dapat menentukan persamaan garis singgung dan garis normal. Persamaan garis singgung di titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalah y – y₁ = m(x – x₁). Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung di titik yang sama. Gradien garis normal adalah -1/m.

• Contoh Soal 3:

  Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva y = x² + 2x – 3 di titik (1, 0).

  • Pembahasan:

    1. Cari turunan pertama:
       f(x) = x² + 2x – 3
       f'(x) = 2x + 2

    2. Substitusikan nilai x:
       f'(1) = 2(1) + 2 = 4
       Jadi, gradien garis singgung adalah 4.

    3. Persamaan garis singgung:
       y – 0 = 4(x – 1)
       y = 4x – 4

    4. Gradien garis normal:
       m_normal = -1/4

    5. Persamaan garis normal:
       y – 0 = (-1/4)(x – 1)
       y = (-1/4)x + 1/4

    Jadi, persamaan garis singgung adalah y = 4x – 4 dan persamaan garis normal adalah y = (-1/4)x + 1/4.

IV. Nilai Maksimum dan Minimum

Turunan dapat digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Nilai maksimum dan minimum terjadi pada titik stasioner, yaitu titik di mana turunan pertama sama dengan nol (f'(x) = 0) atau tidak terdefinisi. Untuk menentukan apakah suatu titik stasioner adalah titik maksimum atau minimum, kita dapat menggunakan uji turunan kedua. Jika f”(x) > 0, maka titik tersebut adalah titik minimum. Jika f”(x) < 0, maka titik tersebut adalah titik maksimum. Jika f”(x) = 0, maka uji turunan kedua tidak dapat menentukan jenis titik stasioner tersebut, dan perlu dilakukan uji lain.

• Contoh Soal 4:

  Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1.

  • Pembahasan:

    1. Cari turunan pertama:
       f'(x) = 3x² – 12x + 9

    2. Cari titik stasioner (f'(x) = 0):
       3x² – 12x + 9 = 0
       x² – 4x + 3 = 0
       (x – 1)(x – 3) = 0
       x = 1 atau x = 3

    3. Cari turunan kedua:
       f”(x) = 6x – 12

    4. Uji turunan kedua:

       • Untuk x = 1:
         f”(1) = 6(1) – 12 = -6 < 0
         Jadi, x = 1 adalah titik maksimum lokal.
         f(1) = (1)³ – 6(1)² + 9(1) + 1 = 1 – 6 + 9 + 1 = 5
         Nilai maksimum lokal adalah 5.

       • Untuk x = 3:
         f”(3) = 6(3) – 12 = 6 > 0
         Jadi, x = 3 adalah titik minimum lokal.
         f(3) = (3)³ – 6(3)² + 9(3) + 1 = 27 – 54 + 27 + 1 = 1
         Nilai minimum lokal adalah 1.

    Jadi, nilai maksimum lokal fungsi adalah 5 (di x = 1) dan nilai minimum lokal adalah 1 (di x = 3).

• Contoh Soal 5:

  Sebuah persegi panjang memiliki keliling 100 cm. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum.

  • Pembahasan:

    1. Misalkan panjang persegi panjang adalah p dan lebar adalah l.
       Keliling: 2p + 2l = 100 => p + l = 50 => l = 50 – p

    2. *Luas persegi panjang: L = p l = p(50 – p) = 50p – p²**

    3. Cari turunan pertama dari L terhadap p:
       L'(p) = 50 – 2p

    4. Cari titik stasioner (L'(p) = 0):
       50 – 2p = 0
       2p = 50
       p = 25

    5. Cari turunan kedua dari L terhadap p:
       L”(p) = -2

    6. Karena L”(p) = -2 < 0, maka p = 25 adalah titik maksimum.

    7. Cari nilai l:
       l = 50 – p = 50 – 25 = 25

    Jadi, ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah panjang 25 cm dan lebar 25 cm (persegi).

V. Laju Perubahan

Turunan juga dapat digunakan untuk menentukan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabelnya. Jika y = f(x), maka dy/dx = f'(x) adalah laju perubahan y terhadap x.

• Contoh Soal 6:

  Sebuah bola udara ditiup sehingga volumenya bertambah dengan laju 100 cm³/detik. Tentukan laju perubahan jari-jari bola ketika jari-jarinya 5 cm.

  • Pembahasan:

    1. Volume bola: V = (4/3)πr³

    2. Turunan V terhadap t (waktu): dV/dt = 4πr² (dr/dt)

    3. Diketahui dV/dt = 100 cm³/detik dan r = 5 cm.

    4. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan:
       100 = 4π(5)² (dr/dt)
       100 = 100π (dr/dt)
       dr/dt = 1/π

    Jadi, laju perubahan jari-jari bola ketika jari-jarinya 5 cm adalah 1/π cm/detik.

VI. Aplikasi dalam Fisika

Turunan sangat penting dalam fisika, terutama dalam kinematika dan dinamika. Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, dan percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu).

• Contoh Soal 7:

  Posisi sebuah partikel yang bergerak sepanjang garis lurus diberikan oleh persamaan s(t) = t³ – 6t² + 9t + 2, di mana s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan:

  a. Kecepatan partikel pada saat t = 2 detik.
  b. Percepatan partikel pada saat t = 3 detik.
  c. Saat partikel berhenti bergerak.

  • Pembahasan:

    a. Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi:
    v(t) = s'(t) = 3t² – 12t + 9
    v(2) = 3(2)² – 12(2) + 9 = 12 – 24 + 9 = -3 m/detik

    b. Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan:
    a(t) = v'(t) = 6t – 12
    a(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6 m/detik²

    c. Partikel berhenti bergerak ketika kecepatannya nol:
    v(t) = 3t² – 12t + 9 = 0
    t² – 4t + 3 = 0
    (t – 1)(t – 3) = 0
    t = 1 detik atau t = 3 detik

    Jadi, kecepatan partikel pada t = 2 detik adalah -3 m/detik, percepatan partikel pada t = 3 detik adalah 6 m/detik², dan partikel berhenti bergerak pada t = 1 detik dan t = 3 detik.

VII. Kesimpulan

Aplikasi turunan sangat luas dan penting dalam berbagai bidang. Pemahaman yang baik tentang konsep turunan dan aplikasinya akan sangat membantu siswa dalam menyelesaikan soal-soal matematika dan fisika di kelas 2 IPA dan di tingkat yang lebih tinggi. Contoh-contoh soal yang telah dibahas di atas diharapkan dapat memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah praktis. Dengan latihan yang teratur dan pemahaman konsep yang kuat, siswa dapat menguasai aplikasi turunan dengan baik.