Aljabar Linear: Pondasi Matematika Modern

Aljabar Linear: Pondasi Matematika Modern

1. Sistem Persamaan Linear (SPL)

• Definisi dan Representasi:
  Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah kumpulan persamaan linear dengan variabel yang sama. Persamaan linear adalah persamaan yang setiap sukunya berupa konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel berpangkat satu. SPL dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks, yang mempermudah analisis dan penyelesaian.
  Bentuk umum SPL dengan m persamaan dan n variabel adalah:

  ```
  a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
  a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
  ...
  aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
  ```
  
  Di mana:
  *   *x₁, x₂, ..., xₙ* adalah variabel.
  *   *aᵢⱼ* adalah koefisien variabel.
  *   *bᵢ* adalah konstanta.
  
  Representasi matriks dari SPL di atas adalah:
  
  ```
  Ax = b
  ```
  
  Di mana:
  *   *A* adalah matriks koefisien berukuran *m x n*.
  *   *x* adalah vektor variabel berukuran *n x 1*.
  *   *b* adalah vektor konstanta berukuran *m x 1*.

• Metode Penyelesaian SPL:
  Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan SPL, di antaranya:

  *   **Eliminasi Gauss:** Metode ini bertujuan untuk mengubah matriks koefisien menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Proses eliminasi melibatkan operasi baris elementer (OBE), yaitu:
      *   Menukar dua baris.
      *   Mengalikan suatu baris dengan konstanta bukan nol.
      *   Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.
      Setelah matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi, solusi SPL dapat langsung dibaca.
  
  *   **Eliminasi Gauss-Jordan:** Metode ini merupakan pengembangan dari eliminasi Gauss, di mana matriks koefisien diubah menjadi matriks identitas. Proses ini melibatkan OBE yang sama dengan eliminasi Gauss. Setelah matriks menjadi identitas, vektor solusi *x* sama dengan vektor *b* yang telah diubah melalui OBE.
  
  *   **Aturan Cramer:** Metode ini menggunakan determinan matriks untuk mencari solusi SPL. Aturan Cramer hanya berlaku untuk SPL dengan jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel (matriks koefisien persegi) dan determinan matriks koefisien tidak sama dengan nol. Solusi untuk variabel *xᵢ* diberikan oleh:
  
      ```
      xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
      ```
  
      Di mana *Aᵢ* adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-*i* dari matriks *A* dengan vektor *b*.

• Jenis Solusi SPL:
  SPL dapat memiliki tiga jenis solusi:

  *   **Solusi Tunggal:** SPL memiliki tepat satu solusi. Ini terjadi jika matriks koefisien memiliki rank penuh (rank sama dengan jumlah variabel) dan SPL konsisten.
  *   **Solusi Tak Hingga:** SPL memiliki tak hingga solusi. Ini terjadi jika matriks koefisien memiliki rank kurang dari jumlah variabel dan SPL konsisten. Terdapat variabel bebas yang dapat mengambil nilai sembarang, dan variabel lainnya dinyatakan dalam variabel bebas tersebut.
  *   **Tidak Ada Solusi:** SPL tidak memiliki solusi. Ini terjadi jika SPL inkonsisten, yaitu terdapat kontradiksi dalam persamaan. Dalam bentuk matriks eselon baris tereduksi, akan terdapat baris dengan semua elemen nol kecuali elemen terakhir (konstanta) yang bukan nol.

2. Matriks

• Definisi dan Operasi Matriks:
  Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom. Matriks dengan m baris dan n kolom disebut matriks berukuran m x n. Elemen matriks dinotasikan dengan aᵢⱼ, di mana i adalah indeks baris dan j adalah indeks kolom.
  Operasi dasar pada matriks meliputi:

  *   **Penjumlahan dan Pengurangan:** Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika memiliki ukuran yang sama. Penjumlahan dan pengurangan dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.
  *   **Perkalian Skalar:** Matriks dapat dikalikan dengan skalar (bilangan). Perkalian skalar dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar tersebut.
  *   **Perkalian Matriks:** Dua matriks *A* dan *B* dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks *A* sama dengan jumlah baris matriks *B*. Hasil perkalian adalah matriks *C* dengan ukuran yang jumlah barisnya sama dengan jumlah baris *A* dan jumlah kolomnya sama dengan jumlah kolom *B*. Elemen *cᵢⱼ* dari matriks *C* dihitung dengan menjumlahkan hasil perkalian elemen-elemen baris ke-*i* dari *A* dengan elemen-elemen kolom ke-*j* dari *B*.
  *   **Transpose Matriks:** Transpose matriks *A*, dinotasikan dengan *Aᵀ*, diperoleh dengan menukar baris dan kolom matriks *A*. Jika *A* berukuran *m x n*, maka *Aᵀ* berukuran *n x m*.

• Jenis-Jenis Matriks:
  Terdapat beberapa jenis matriks khusus, di antaranya:

  *   **Matriks Persegi:** Matriks dengan jumlah baris sama dengan jumlah kolom.
  *   **Matriks Identitas:** Matriks persegi dengan semua elemen diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0.
  *   **Matriks Nol:** Matriks dengan semua elemen bernilai 0.
  *   **Matriks Diagonal:** Matriks persegi dengan semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0.
  *   **Matriks Segitiga Atas:** Matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonal utama bernilai 0.
  *   **Matriks Segitiga Bawah:** Matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonal utama bernilai 0.
  *   **Matriks Simetris:** Matriks persegi yang sama dengan transpose-nya (*A = Aᵀ*).
  *   **Matriks Anti-simetris:** Matriks persegi yang negatif dari transpose-nya (*A = -Aᵀ*).

• Determinan Matriks:
  Determinan adalah nilai skalar yang dapat dihitung dari matriks persegi. Determinan memberikan informasi tentang sifat-sifat matriks, seperti invertibilitas.

  • Determinan Matriks 2×2: Determinan matriks A = [[a, b], [c, d]] adalah ad – bc.
  • Determinan Matriks 3×3: Determinan matriks 3×3 dapat dihitung menggunakan aturan Sarrus atau ekspansi kofaktor.
  • Sifat-Sifat Determinan: Determinan memiliki beberapa sifat penting, di antaranya:
    • Jika dua baris atau kolom matriks ditukar, determinan berubah tanda.
    • Jika suatu baris atau kolom matriks dikalikan dengan skalar k, determinan dikalikan dengan k.
    • Jika suatu baris atau kolom matriks adalah kombinasi linear dari baris atau kolom lain, determinan bernilai 0.
    • Determinan hasil perkalian dua matriks sama dengan perkalian determinan masing-masing matriks: det(AB) = det(A)det(B).
    • Determinan matriks transpose sama dengan determinan matriks aslinya: det(Aᵀ) = det(A).

• Invers Matriks:
  Invers matriks A, dinotasikan dengan A⁻¹, adalah matriks yang memenuhi AA⁻¹ = A⁻¹A = I, di mana I adalah matriks identitas. Invers matriks hanya ada jika determinan matriks tidak sama dengan nol (matriks non-singular).

  • Cara Mencari Invers Matriks: Invers matriks dapat dicari menggunakan beberapa metode, seperti:
    • Adjoin: A⁻¹ = adj(A) / det(A), di mana adj(A) adalah adjoin dari matriks A.
    • Operasi Baris Elementer (OBE): Matriks A diperluas dengan matriks identitas, kemudian OBE dilakukan hingga matriks A menjadi matriks identitas. Matriks identitas awal akan berubah menjadi invers matriks A.

3. Vektor di Rⁿ

• Definisi dan Operasi Vektor:
  Vektor di Rⁿ adalah susunan n bilangan real. Vektor dapat direpresentasikan sebagai titik di ruang n-dimensi atau sebagai panah dari titik asal ke titik tersebut.
  Operasi dasar pada vektor meliputi:

  *   **Penjumlahan Vektor:** Dua vektor dapat dijumlahkan jika memiliki dimensi yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian.
  *   **Perkalian Skalar:** Vektor dapat dikalikan dengan skalar (bilangan). Perkalian skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.
  *   **Produk Titik (Dot Product):** Produk titik antara dua vektor *u* dan *v* adalah skalar yang dihitung dengan menjumlahkan hasil perkalian komponen-komponen yang bersesuaian: *u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ*. Produk titik juga dapat dihitung menggunakan rumus: *u · v = ||u|| ||v|| cos θ*, di mana *||u||* dan *||v||* adalah norma (panjang) vektor *u* dan *v*, dan *θ* adalah sudut antara kedua vektor.
  *   **Produk Silang (Cross Product):** Produk silang hanya didefinisikan untuk vektor di R³. Produk silang antara dua vektor *u* dan *v* adalah vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut. Panjang vektor hasil produk silang adalah *||u x v|| = ||u|| ||v|| sin θ*.

• Norma dan Jarak:

  • Norma (Panjang) Vektor: Norma vektor u, dinotasikan dengan ||u||, adalah panjang vektor tersebut. Norma dapat dihitung menggunakan rumus: ||u|| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²).
  • Jarak antara Dua Vektor: Jarak antara dua vektor u dan v adalah norma dari selisih kedua vektor: d(u, v) = ||u – v||.

• Ortogonalitas:
  Dua vektor u dan v dikatakan ortogonal (tegak lurus) jika produk titik mereka bernilai 0: u · v = 0.

• Basis dan Dimensi:

  • Basis: Himpunan vektor yang linear independen dan merentang seluruh ruang vektor disebut basis.
  • Dimensi: Jumlah vektor dalam basis disebut dimensi ruang vektor.

4. Ruang Vektor

• Definisi Ruang Vektor:
  Ruang vektor adalah himpunan objek (disebut vektor) yang dilengkapi dengan dua operasi: penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Aksioma-aksioma tersebut menjamin bahwa operasi-operasi tersebut berperilaku "baik" dan konsisten.

• Subruang Vektor:
  Subruang vektor adalah himpunan bagian dari ruang vektor yang juga merupakan ruang vektor itu sendiri. Untuk membuktikan bahwa suatu himpunan bagian adalah subruang vektor, perlu ditunjukkan bahwa himpunan tersebut tertutup terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar.

• Kombinasi Linear, Rentang, dan Kebebasan Linear:

  • Kombinasi Linear: Kombinasi linear dari vektor-vektor v₁, v₂, …, vₖ adalah vektor yang dapat ditulis sebagai c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₖvₖ, di mana c₁, c₂, …, cₖ adalah skalar.
  • Rentang (Span): Rentang dari himpunan vektor adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut.
  • Kebebasan Linear: Himpunan vektor dikatakan linear independen jika tidak ada vektor dalam himpunan tersebut yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Jika tidak, himpunan tersebut dikatakan linear dependen.

Materi-materi di atas merupakan fondasi penting dalam aljabar linear. Pemahaman yang kuat terhadap konsep-konsep ini akan sangat membantu dalam mempelajari topik-topik aljabar linear yang lebih lanjut, serta dalam aplikasi aljabar linear di berbagai bidang ilmu dan teknik.